算数の記述は、正解までたどり着けない問題であっても1点2点をもらえる可能性があるんです。

簡単に分かることを書くだけでも、部分点の配点が期待できます。

「式を書いて1点2点を取りに行きませんか？」というのがお伝えしたいことです。

具体的な入試問題を使って、「何を書けば1点もらえるか」、「難しい問題でも1点を取るのは難しくない」、ということ述べていきます

私・川口は家庭教師をしていますけど、1点2点の部分点を取れないお子さんを多く見てきました。

本格的に過去問に取り組むようになって、算数の解答欄が白紙になっているのをよく見ます。

もちろん、全く分からないなら仕方ないです。

しかし、分かっているのに書いていないということがよくあるんです。

お子さんにとっては、解答欄に式や図表を書くということ自体が難しいことでもあるんです。

難しい問題でも、簡単に1点2点を取る方法や、式を解答欄に書くことの大切さをお伝えします。

そもそも何のために式を書かせるか、ということもお伝えします。

この記事の主な対象

• 「算数で式がいつも空欄になっている…」という方
• 「何を書けば部分点がもらえるのか分からない…」という方
• 「部分点なんて、1点や2点だけだから、そんなに重要ではないよね？」という方

算数で途中式の記述は2種類!?

解答欄に式や図表を書くことがいかに大切か、ということから述べていきます。

意外とこれを分かっていないお子さんが多いんですよね。

そもそも、算数に記述式の問題がなぜあるかを考えてみてみましょう。

私は、大きく2種類あると考えています。

1つは、きちんと理解しているかどうかを見るための問題です。

算数のテストでは、答えだけを書くものも多いですけど、答えだけでは解いた方法が分かりませんよね。

答えは合っていても、解き方が合っているとは限りません。

例えば、簡単な例であれば、

10+29-6

という計算が問題を解く過程で出てきたと考えてみましょう。

正しく計算すると、

10+29=39

39-6=33

となります。

ところが、

10+29=38

38-6=33

というように、計算ミスを2回することで、結果的に運よく正解する場合もあります。

中には、適当に書いた数字が運よく当たっただけという場合もあります。

つまり、正しい答えにたどり着いても、解き方が不適切な受験生と、きちんと解き方まで合っている受験生がいます。

解き方によって点数にも差をつけたい場合に、式を書かせる問題が出されるというのが1つ目の種類です。

もう1つは、理解度に応じて点数に差をつけるための問題です。

完璧に理解している人と少し理解している人に差をつけることもできます。

しかし、より重要なのは、全く分からなかった人と、少しでも分かった人に点差をつけることです。

答えだけを書く問題であれば、全く分からない人と、少しでも分かった人はいずれも不正解になってしまいます。

理解度に差があるにもかかわらず、答えにたどり着かなければ0点となって点差がつきません。

少し分かった人がかわいそうだから、1点でもあげたいということで、記述式にしてあるわけです。

2種類ある算数の記述のうち、特に強調して述べたいのは、2つ目の、理解度に応じて点数に差をつけるための問題です。

問題を出している側が、

「1点あげますよ」

という気持ちで出しているわけです。

「難しいから正解までたどり着くのは難しいかもしれませんよね」

「それでも何か分かったことがあるなら1点あげますよ」

という問題なんです。

「1点あげますよ」

と言われているんですから、少しでも分かっていることを書いて、1点をもらってください。

「あげますよ」

と言ってくれているんだから、それをもらいましょう。

1点の積み重ねで合格に近付いていきます。

合格したいと思ったら、1点でも取りにいくことが大切です。

取れるはずの1点を取りにいかないのは、

「合格したくない」

と言っているようなものです。

「合格したくない」と言っている答案を採点したら、当然不合格になります。

入試は1点で合否が分かれると思った方が良いです。

その学校を志望する人達だけが受験するので、力の差はないんです。

1点を取りにいくのが、とても大切です。

もちろん、全部完璧に正解するのが一番良いです。

しかし、全部完璧に正解するなんて普通は無理ですし、その必要もありません。

1点でも多く取れるものを確実に取っていけば、合格に近付いていきます。

算数で答えが分からなくても記述して部分点を取る

問題を解いていて、

「あー全然分からないな」

と思ったときは、もちろん一旦後回しにするのは一つの方法です。

中には、完全な捨て問もあります。

しかし、

「本当に全然分かりませんか？」

ということを伝えたいんです。

難しい問題であっても、何か少しだけ分かるということはありますよね？

例えば、速さなら、

「追い越した時刻が何時何分かは分からないけど、速さが分速何mかは出せるぞ」

数列であれば、

「100番目がどうなっているかは分からないけど、10番目までなら書けるぞ」

面積の問題なら、

「全体の面積は分からなくても、ここの三角形の面積だけなら出せるぞ」

というように、何でも良いんです。

何か少しでも分かることがあるなら、それを解答用紙に書いてください。

解答用紙に書く、ということが大事です。

問題を見たら計算の跡が残っているのに、解答用紙を見たら真っ白ということもあります。

解答用紙が真っ白であれば、絶対に点はもらえません。

問題に書いたその計算を、解答用紙に書いておけば、1点がもらえるかもしれません。

そう言うと、

「こんなこと書いても点がもらえるとは思わなかった」

「こんなこと書いてもしょうがないと思った」

という人もいます。

書いたもの点になるかどうかは、採点する人が決めることです。

あなたが決めることではありません。

勝手に決めないでください。

何でもいいんです。

とにかく分かったこと、計算したことを少しでも解答用紙に残すことが大切です。

「こんなの当たり前だ」と思ったとしても、書いてください。

書かないと、「当たり前のことさえ分かっていないんだな」と採点されてしまいます。

解答欄に何も書かなかったら、何も分かっていない人と同じになってしまうんです。

簡単なことであっても、少しは分かるということもありますよね？

だったらそれを書きましょう。

採点する人は、答案だけを見ます。

あなたの頭の中は分かりません。

何も書いていなければ、何も分かっていないんだなと思って採点します。

難しいことを書いて1点取ろうという話ではないんです。

簡単なことを書けば1点もらえる可能性があります。

とはいえ、実際に何をどの程度書けば1点もらえるのか分からないという方もいらっしゃるでしょう。

実際の入試問題を使って、こんな簡単なことを書くだけで1点もらえるかもしれない、ということを紹介します。

具体的な算数の入試問題での記述と部分点の例

藤嶺学園藤沢中学校(2021年2月1日午前)の問題を引用します。

ご存じない方も多いでしょうから説明しておきますと、藤嶺藤沢の算数では、例年大問が5つ出題されます。

そして、大問1～大問3は答えのみを書く形式で、大問4と大問5が途中式も書く形式です。

つまり、問題によって、答えのみを書くのか、途中式も書くのかを分けています。

きちんと理解しているかどうかを見るための問題ではなくて、理解度に応じて点数に差をつけるための問題として出題していると考えられます。

わざわざ問題によって形式を変えているわけですからね。

藤嶺藤沢で、途中式を書く形式で出題された問題を、部分点を取るための例として取り上げます。

問題はこちらです。

「次の問い」として、(1)と(2)が続きます。

解ける人もいれば、解けない人もいるでしょうが、あくまで部分点がテーマです。

問題が解ける場合には、そもそも部分点というより、解き方を伝えるために途中式を書くことになります。

そうではなくて、問題が解けなかった時には、少しでも式を書いて部分点を取りにいくということです。

基本的な通過算という速さについての問題なので、藤嶺藤沢を受験するお子さんなら、本当は正解したい問題ではあります。

しかし、あくまで分からない問題に出会ったときにどうするか、という観点で述べていきます。

それでは、まずは、(1)を見ていきましょう。

仮に、この問題が分からないとしましょう。

「解き方が分からなくても、できることはありませんか？」

というのを考えてもらいたいんです。

通過算を一回も習ったことがなくても、それどころか速さを習ったことがない人でさえ、できることがあるんです。

問題文に、

「1両20mの車両がつながっています。15両の列車Aが、」

と書いてありますね。

ここまで読んだ時点で、何かわかることはありませんか？

列車の長さだけは分かりませんか？

20mが15両なので20×15という計算になるというのは、分かる人が多いでしょう。

だったら列車の長さを解答欄に書きましょうよ。

列車の長さすらも書かなかったら、

「あーこの子は列車の長さも分からないんだな」

と思われちゃうんですよ。

そんなの悔しいですよね。

何も分かっていない人とは違いますよね。

だったら、「分かっていますよ」と伝えましょう。

書かないと伝わりませんからね。

「列車の長さなんて当たり前のことだから、書いても意味がない」

と思う人もいるかもしれません。

しかし、書いても意味がないかどうかを判断するのは、あなたではなくて、採点者です。

とにかく分かったことは書きましょう。

「列車の長さしか分からないから書けなかった」じゃなくて、列車の長さを書くんです。

「列車の長さしか分からないから」というなら、列車の長さだけでも良いから書きましょう。

また、例えば、列車の長さが300mになることは分かって、そこから先が分からないとしましょう。

その場合でも、列車の長さをkmに変えることはできませんか？

答えが時速何kmで、最終的にkmにする必要があるんだから、kmにするだけでも答えに近付いているということになります。

実際にそれで1点がもらえるかどうかは分かりませんけど、書いておけば1点もらえる可能性があります。

分かることを書いておきましょう。

(2)は、

という問題です。

(1)はできたけど、(2)の答えは出せないという人もますよね。

しかし、(1)で速さが分かっているのなら、10秒で進んだ距離は分かりませんか？

(1)で速さが分かっていなくても、(1)の速さ÷3600×10という計算の方法だけでも分かる人もいるでしょう。

「(1)の速さ÷3600×10」と書いておけば、点数がもらえる可能性もゼロではありません。

(1)の速さが分からないから諦めるのではなくて、とにかく分かることを書きましょう。

ただ、これはあくまで1点2点を取るという話です。

もう少し時間をかけたら解けそうな問題があるなら、そちらに時間使う方が良い場合もあります。

あくまで、時間があるなら、もしかしたら1点がもらえるかもしれないということに使った方が良いということです。

まとめ

中学受験の算数での記述には2種類あると考えています。

• きちんと理解しているかどうかを見るための問題
• 理解度に応じて点数に差をつけるための問題

中でも、「理解度に応じて点数に差をつけるための問題が特に重要だと考えています。

答えが分からない問題でも、簡単なことだけでも解答用紙に記入してください。

1点がもらえる可能性がありますし、1点を積み重ねることで合格に近付きます。

実際の入試問題も使って述べましたが、紹介したことはあくまで一つの例です。

実際にこれで1点もらえるかは分かりません。

しかし、書いておけば1点もらえる可能性があります。

書かなければ絶対にもらえません。

そして、簡単なことを書くのはほとんど時間も要りませんから、リスクもほぼありません。

実際に自分から受ける学校では、何をどこまで書けば1点もらえるか分からないということはありますよね。

そんなの考える必要ないんです。

迷ったら書く、思いついたことは全部書く、書こうかどうかなんて考えずに、とにかく全部書くぐらいで良いと思います。

ただし、計算が複雑になって式がたくさん出てくる場合は、整理して書く必要が出てくることもあります。

あくまで、解けないときに少しだけ分かったときは、全部書きましょうということです。

気になる場合は、

「これを書いたら1点もらえますか」

ということを塾の先生などに相談するのは良いと思いますよ。

過去問を通じて、少しでも点数を取る練習をしていきましょう。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

個別指導にご興味のある方は、詳しくはこちらからご覧ください。

ところが、季節を示すものなのに、季語と季節がずれることがあります。

例えば、「七夕」という季語を考えてみましょう。

七夕といえば7月7日なので、夏という感じがしますよね。

しかし、「七夕」は、秋の季語なんです。

季語からイメージする季節と、実際に季語が表す季節がずれることがあります。

「この季語の季節を答えなさい」という問題で、間違えやすいことがります。

そこで、一つ一つの季語を覚えなくても簡単に季節を見分ける方法を伝えていきます。

この記事の主な対象

• 「こんなに多くの季語を覚えられないよ」という方
• 「季語は覚えないといけないんだよね？」という方
• 「楽に季語の問題を取れる方法を知りたい！」という方

季語と季節の勉強

季語と季節がずれていると、「一生懸命季語を覚えよう」と勉強をする人もいます。

単語帳に季語と季節を書いて、一つ一つ覚えようとする人もいるかもしれません。

実際に「季語　覚え方」と検索してみると、「季語は覚えましょう」等の記事も多く出てきます。

「こんなに多くの季語を覚えられないよ」と思ったことのある人もいるでしょう。

もちろん、「七夕は秋の季語」等と一つ一つ覚えていけば、テストでも間違えることはありません。

しかし、季語は本当に数多くあります。

しかも、一般的には、季語はテストで多く出題されません。

そもそも、季語が入試に出されること自体が、そんなに多くあることではありません。

一方で、季語を一つ一つ全部覚えていくのは、大変な作業ですよね。

覚えるのは負担が大きいにもかかわらず、テストでもそこまで重要な存在ではないわけです。

負担と効果が釣り合わないことが多いでしょう。

もちろん、実際に受験する入試で、毎年季語が数多く出る場合は例外かもしれません。

しかし、そうでなければ、わざわざ全部覚えるのは効率が悪いです。

季語を覚えるのに時間を使えば、他の勉強に使える時間が減ります。

季語を頑張って覚えたからこそ、かえって他の科目の成績は下がることもあり得ます。

頑張った結果成績が下がれば、全く意味がありませんよね。

そこで、季語を覚えないで、季節を見分ける方法を紹介します。

季語と季節のずれを見分ける

そもそも、季語と季節がずれる理由は、旧暦にあります。

旧暦というのは、簡単に述べると、昔使われていたカレンダーのことです。

今のカレンダーと昔のカレンダーでは、ずれている部分があります。

季語は昔から使われているものですから、旧暦という昔のカレンダーに基づくものが多いです。

そして、旧暦の季節は、以下のようにずれているんです。

例えば、夏であれば6月8月8月というイメージがありますけど、旧暦での夏は4月5月6月というようにずれています。

実際には、季語には旧暦に基づくものもあれば、新暦に基づくものもあります。

しかし、少なくとも、「毎年何月何日に行う」と数字で決められている年中行事は、昔から決められた時期に行われています。

日にちが決まっているものについては、旧暦によって季節が判断されます。

まずは旧暦の季節を覚えましょう。

そして、基本的には旧暦の季節に従って判断しましょう。

そうするだけで、少なくとも日にちが決まっているものは判断できます。

また、日にちが決まっていないものでも、判断できる場合もあります。

それでは、実際に練習問題をいくつかやってみましょう。

季語の季節を答える練習問題

最初にも紹介した七夕です。

七夕は、7月7日に行われる行事ですね。

昔から7月7日に行われているので、旧暦で判断します。

旧暦で7月は秋ですから、七夕は秋の季語です。

それでは、次の問題です。

こいのぼりは、こどもの日、5月5日に上げます。

昔から5月5日に行われていることなので、旧暦で判断します。

旧暦で5月は夏ですから、こいのぼりは夏の季語です。

次の問題です。

七五三は、一般的に11月15日ごろに行われます。

昔から11月15日に行われているので、旧暦で判断します。

旧暦で11月は冬ですから、七五三は冬の季語です。

まとめ

季語と季節がずれる原因は、旧暦にあることを述べました。

そして、旧暦の季節を覚えておけば、ある程度の問題を解くことができると実例も交えて紹介しました。

紹介した方法はあくまで目安です。

新暦によって判断するものもありますし、全部が全部解けるということではありません。

「迷ったときは、これで考えたら解ける問題もありますよ」ということです。

実際に問題を解く際に少し意識しておくと、正解しやすくなるでしょう。

頭で覚えていくのと、実際に使いこなせるのは別のことですよね。

問題を見かけたときに練習してみると、解けることが実感できることがあるはずです。

あまり季語に勉強時間を使えなくても、少しの作業で点数を取れるようにしていきましょう。

勉強のことでお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

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しかし、「なぜ縦×横になるのか」というのを理解していないこともあります。

面積と周りの長さを間違えるということが珍しくないですが、その原因が公式の丸暗記です。

本来は、面積と周りの長さは全く異なる概念なので、間違えるはずがありません。

それでも間違えるのは、なぜ縦×横なのかを理解せず、公式を覚えているからです。

長方形に限らず、扇形などでも、面積と周りの長さを間違える人は多いです。

原因は同じです。

もっとも基本的な図形ともいえる、長方形の面積の求め方をしっかり理解することが大切です。

同じような発想で勉強すれば、扇形でも面積と周りの長さは間違えません。

長方形の面積がなぜ縦×横なのか、説明していきます。

この記事の主な対象

• 「面積と周りの長さをいつも間違えている…」という方
• 「長方形の面積が縦×横の理由を知りたい」という方

なぜ縦×横？周りの長さと間違える？長方形の面積・公式の理由は？

長方形の面積を学習するときに、

という公式を出発点として授業が展開されることがあります。

しかし、公式を出発点として勉強するのではなく、定義を出発点として勉強することが大切です。

公式を出発点とすると、「面積と周りの長さ」を間違えるというように、「すぐ忘れる」ということが起こります。

それでは、面積における定義とは何でしょうか。

面積における定義とは、1辺が1cmの正方形の面積が1㎠ということです。

1㎠という単位は、人間が作り出したものなので、このまま覚えるしかありません。

面積は、言い換えれば「1辺が1cmの正方形が何個分か」ということになります。

例えば、「1辺が1cmの正方形が10個分」であれば、1㎠の10個分で10㎠です。

定義を確認したところで、縦が2cm、横が4cmの長方形の面積を考えます。

面積とは、「1辺が1cmの正方形が何個分か」ということなので、1辺が1cmの正方形に区切ります。

数えてみると8個分と分かるので、8㎠ということになります。

とはいえ、面積を調べるときに、毎回区切って数えていては時間がかかります。

そこで、列に分けて考えます。

1cmずつの列に区切ると、4つの列ができます。

そして、1つの列には2個の正方形が入っています。

2個の正方形が4列あるので、2×4で8㎠ということです。

1つの列に2個あるのは、縦が2cmだからです。

また、4列あるのは、横が4cmだからです。

このような理由で、縦×横という式になります。

仕組みを理解しておけば、周りの長さと間違えることはありません。

周りの長さは求めているものが全く異なるので、列に区切るという考え方ができないからです。

まとめ

長方形の面積は、「縦×横」で求めることができます。

しかし、いきなり「縦×横」を覚えるのではなく、なぜそうなるかを理解しましょう。

算数は、公式から出発するのではなく、定義から出発することが大切です。

面積における定義とは、1辺が1cmの正方形＝1㎠です。

1辺が1cmの正方形が何個分か、というのが面積です。

長方形を列に区切って考えると、縦×横で正方形の個数を求めることができます。

このような理由で、長方形の面積は縦×横になります。

面積と周りの長さを間違える人は多いですが、原因は公式の丸暗記にあることが多いです。

扇形で間違えている場合も、原因は長方形にあることもあります。

特に面積と周りの長さを間違えたときには、なぜ縦×横になるのか、基本からきちんと確認しましょう。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

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算数ベストチェック

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日能研教務部 みくに出版 2000年09月15日

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あくまで復習用なので、使い方には注意が必要です。

ベストチェックは良い教材なのですが、欠点は解説がほぼないことです。

ベストチェックはインプット用の教材ではないので、分からなければ他のテキストなどで学習するのが基本的な使い方です。

しかし、あれば便利でしょうから、ベストチェックの問題について解説していきます。

補助的にご利用していただければ幸いです。

１番「約数と素数」(p.34・35)についての解説です。

約数と素数は、そのまま入試問題に出題されることもあります。

また、他の分野の前提にもなっているので重要です。

順に解説していきます。

大問１　ベストチェックの解説１「約数と素数」

大問１（１）

約数は、掛け算の形で考えると見つけやすいです。

1×75から始め、一方を大きくしていき、もう一方を小さくしながら探していきます。

5×15が見つかれば、6の掛け算、7の掛け算、…と順に探していきます。

中には、5×15から探し始めて、15×5になるまで終わりが分からない子もいます。

しかし、75は9×8と9×9の間にあるので、後は上の段の数の方が大きくなっていきます。

9まで探したら終わりだと気付くのが理想です。

大問１（２）

解き方は同じですね。

9×9となった時点で終わりと分かるので、終わりは分かりやすいです。

解答欄に9を2つ書かないように注意しましょう。

大問１（３）

解き方はこちらも同じです。

最後が6と8という近い数字なので、終わりだと気付きやすいですね。

大問２　ベストチェックの解説１「約数と素数」

大問２（１）

素数とは、約数が2個の整数のことです。

この定義をそのまま覚えましょう。

「１」が素数に含まれるか迷う人もいますが、「約数が2個」と覚えていれば間違いません。1の約数は1だけですからね。

大問２（２）

素数は、2で割り切れる数を消して、3で割り切れる数は消して、と探す方法もあります。

しかし、探すのは時間がかかるので、よく使うものは覚えておきたいですね。

2,3,5,7,11,13,17,19ぐらいまでは覚えておきたいです。

大問２（３）

30までの素数も、覚えていればそれを答えるだけです。

覚えていない場合は、1から30の数字を書いて、割り切れる数字があるか調べましょう。

大問２（４）

素数の積で表すことは、素因数分解といいます。

素因数分解は、「すだれ算」などと呼ばれる方法で行います。

素数で割っていき、最後が素数になったら終わりです。

まとめ

まず約数の求め方をしっかり理解しましょう。

理解せずに割り切れる数を探すと、終わりが分かりません。

約数の個数をときどき間違えるという人は、自己流の方法で解いている可能性があります。

そして、素数の定義はしっかり覚えましょう。

生徒に「素数って何？」と尋ねると、「2、3…」と答えることがありますが、これは定義ではありません。

これでは永遠に言い続けることになります。

きちんと「定義」を言えるようにしましょう。

また、素因数分解も、間違えやすい場合はしっかり練習しましょう。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

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つまみ食いOK！未習単元に使うのはNG!算数ベストチェックの使い方

ベストチェックは良い教材なのですが、欠点は解説がほぼないことです。

ベストチェックはインプット用の教材ではないので、分からなければ他のテキストなどで学習するのが基本的な使い方です。

しかし、あれば便利でしょうから、ベストチェックの問題について解説していきます。

補助的にご利用していただければ幸いです。

70番「水そうグラフ」(p.172・173)についての解説です。

水そうグラフは、やや応用的な問題ではありますが、入試ではよく出題されます。

入試での出題は、難易度も様々ですが、ベストチェックのような問題はできることを目指したいですね。

大問１　算数ベストチェックの解説70「水そうグラフ」

大問１（１）

水そうの問題は、断面図(正面から見た図)を書くと分かりやすくなります。

グラフを見ると、アの部分の水位が最初から上がっています。

つまり、アの部分に水を入れていることが分かります。

そして、アの部分に水が貯まると、水があふれてイの部分に流れていきます。

イの部分に水が貯まっている時間は、アの水位は変化しません。

このように考えると、アの部分に水が入るのにかかった時間が8分、イの部分が20-8で12分と分かります。

比を使うと楽な計算で答えにたどり着くことができます。

アの部分とイの部分に水が入る時間が8:12=2:3です。

水が入る時間と、水が入る量は比例します。

また、高さと縦が同じ場合、横の長さと体積が比例します。

アの部分とイの部分の横の長さも、2:3になっているということです。

比が分かれば、比例配分(ベストチェック21番(p.74・75))することができます。

45×3/(2＋3)で答えは27cmです。

比を使うのが難しければ、体積を使って解くこともできます。

アとイの部分を合わせた体積は、29×45×22で28710㎤です。

20分で水が入っているので、28710÷20で、1分あたり1435.5㎤の水が入っています。

イの部分は12分で水が貯まっているので、1435.5×12の17226㎤と分かります。

直方体の体積は、縦×横×高さなので、29×AB×22が17226ということです。

17226÷29÷22で、答えは同じく27cmになります。

比を使うよりも計算の手間は増えますが、人によっては考えやすくなるでしょう。

大問１（２）

「うちのり」という言葉に馴染みがないお子さんは多いでしょう。

「うちのり」というのは、内側の高さということです。

実際の水そうには厚みがあるので、内側の高さと外側の高さは異なります。

しかし、算数の水そうでは、厚みを考えない問題が多いので、「うちのり」という言葉はあまり気にする必要はありません。

20分で22cmの高さまで水が入ってからは、上の部分に水が入っていきます。

そして、30分後に満水になるので、上の部分は30-20で10cmです。

アとイの部分を合わせた部分と、上の部分は、底面積が同じです。

水の体積・水を入れる時間と、高さが比例します。

水を入れる時間は、20分:30分=2:3です。

2:3=22cm:□cmという比例式(ベストチェック20番(p.72・73))になり、答えは33cmです。

比を使わない場合は、先ほどと同じように、「1分あたり1435.5㎤」というのを使います。

全体が30分で満水なので、1435.5×30で水そうの体積は43065㎤です。

縦が29cm、横が45cmなので、43065÷29÷45で答えは同じく33cmと求めることができます。

ポイント

• 断面図を書く
• どの部分に何分で水が入るかを考える
• 比例配分、または1分あたりに入る水の量を計算する

大問２　算数ベストチェックの解説70「水そうグラフ」

大問２（１）

グラフを見ると、18分から上がり方が緩やかになっています。

緩やかになったのは、広い部分に水が入るようになったからです。

18分で下の部分が満たされて、そこから先は上の部分に水が増えていくということです。

下の部分は18分、上の部分は48-18の30分で満たされています。

そして、水を入れる時間と、水が入る量は比例します。

時間が18:30なので、水の量も18:30=2:5ということです。

大問２（２）

グラフから、下の部分の高さが 15cm、上の部分の高さが30-15で15cmと分かります。

上の部分と下の部分の高さが同じということです。

高さが同じで、縦の長さも同じなので、体積と横の長さが比例します。

なぜ比例するのか分からない場合は、速さと比(ベストチェック27番(p.86・87))などをよく復習しましょう。

体積の比が2:5なので、横の長さも2:5になります。

5-3で2の部分が20cmですから、20×5/2で50cmになります。

ポイント

• 断面図を書く
• どの部分に何分で水が入るかを考える
• 体積の比と横の長さの比が等しくなることを使う

まとめ

大問１は比を使う方法もあれば、比を使わない方法もあります。

一方、大問２は基本的には比を使う以外に方法がありません。

大問２では、横の長さが分からず、体積を求めることができないからです。

複数の場所の長さが関係してくるので、長さを勝手に自分で決めるということもできません。

大問１と大問２に違いはありますが、いずれにしても、水そうの問題は、断面図を書くことで考えやすくなります。

大問１についても、比を使えると計算が楽になるので理想的ではあります。

しかし、無理に比を使おうとして間違えたら意味がありません。

分かりにくいのであれば、比を使わない方法でも構いません。

比を使わなくても解けることがあるのは、ベストチェック69番と同様です。

水そうグラフの問題は、入試でもよく出題されます。

ベストチェックの問題が解ければ、銀本などを使って練習しましょう。

目的別・銀本の使い方２つのパターン+α[中学受験]

水そうグラフについて出題された入試問題についても解説しています。

実際に解いた際に、是非ご利用ください。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

個別指導にご興味のある方は、詳しくはこちらからご覧ください。

問題は、2021年版の銀本や、四谷大塚の過去問データベースで手に入れることができます。

銀本とは、みくに出版の「中学入学試験問題集」のことです。

日能研生であれば配布されるので、購入の必要はありません。

銀本では、二つの使い方をお勧めしています。

ところが、銀本には解説がありません。

せっかく解いても復習がしにくい面があるので解説を作りました。

問題ごとに難易度のランク付けもしました。ランクの目安は以下のとおりです。

ランクが高いほど基礎的な問題＝重要な問題です。

あくまで、私が全問解いてみて、主観でランクを付けています。

実際に模試で出題した場合には、出題の順番などでも正答率は左右されるので、目安とお考え下さい。

また、日能研ブックスでは、『算数ベストチェック』というまとめ教材をお勧めしています。

参考までに、問題ごとにベストチェックの番号も記載しました。

解説は簡単なものに留めているので、分からなければベストチェックを参照してください。

それでも分からなければテキストなどに戻ってください。

詳しくは、こちらの記事をご覧ください。

大問１・２　藤嶺藤沢中2020年解説・難易度ランク

大問１

（１）ランクA　解説略　ベストチェックなし

（２）ランクA　ベストチェック6番(計算の工夫)

分配法則を利用すると、20×(17＋33)となり、答えは1000です。

（３）ランクA　解説略　ベストチェックなし

（４）ランクB　解説略　ベストチェックなし

（５）ランクA　ベストチェック19番(割合)・18番(単位の換算)

600÷0.12で5000gと求まります。

1000gが1kgなので、5000÷1000で答えは5kgです。

大問２

（１）ランクA　ベストチェック3番(倍数と公倍数①)

3×3×3×10で答えは270です。

（２）ランクC　ベストチェック30番(時計算)

8時の時点で、30×8の240度離れています。

そこから長針が短針を追いかけます。

長針が1分間に6度、短針が1分間に0.5度動くので、6-0.5で1分間に5.5度縮まります。

240-5.5×40で答えは20度です。

（３）ランクB　ベストチェック35番(つるかめ算)

2種類の量が分かっていない問題で、合計と単位あたりの量が分かっているのでつるかめ算です。

全部を5000円札とすると、5000×12で60000円になります。

80000-60000で20000円が不足します。

20000÷(10000-5000)で答えは4枚です。

（４）ランクB　ベストチェック19番(割合)・33番(和差算、分配算)

割合の問題では、割合と具体的な数量が両方分かっている場所を探します。

図を見ると、42人と丸の1.75が一致していることが分かります。

42÷1.75で①が24人です。男子は、24×0.75、または42-24で18人です。

（５）ランクB　ベストチェック39番(年齢算)

8年後は、二人とも8才増えるので、上の図になります。

⑤が42＋8で50歳なので、50÷1で①が10歳です。

10×2-8で答えは12歳です。

（６）ランクC　ベストチェックなし

和が一定なので、Aを①として一つの線分図にまとめます。

すると、②が8と分かります。8÷2で答えは4です。

（７）ランクB　ベストチェック23番(濃度)

16÷0.04で食塩水が400gです。

400-16で答えは384gです。

400×(1-0.04)でも求めることができます。

（８）ランクD　ベストチェック54番(求積の工夫①)・6番(計算の工夫)・60番(相似)

左の部分から、右の部分を引くことで求めることができます。

左の部分は、10×10-10×10×3.14×1/4です。

右の部分は、5×5-5×5×3.14×1/4です。

分配法則を使って計算すると、少し楽にできます。

なお、分配法則についての詳細はこちらをご覧ください。

やや気付くのが難しいかもしれませんが、相似を使うとさらに計算が楽になります。

左の部分と右の部分が相似比2:1の相似になっています。

面積比にすると、2×2:1×1=4:1です。

4の部分から1を引くので、4分の3倍になります。

(10×10-10×10×3.14×1/4)×3/4を計算し、答えは16.125㎠です。

大問３・４・５　藤嶺藤沢中2020年解説・難易度ランク

大問３

（１）ランクB　ベストチェック9番(等差数列)

初項が1、項差が3である等差数列の第7項を求めます。1＋3×(7-1)で答えは19です。

（２）ランクB　ベストチェック9番(等差数列)

1＋3×(12-1)で、一番大きい数が34と分かります。

グループ内が等差数列になっているので、等差数列の和を求めます。

(1＋34)×12÷2で答えは210です。

大問４

（１）ランクB　ベストチェックなし

60×100＋80×50で、仕入れ値の合計が10000円です。

100×(100＋50)で、売り上げの合計は15000円です。

15000-10000で答えは5000円です。

（２）ランクC　ベストチェック35番(つるかめ算)

200×100で、売り上げの合計が20000円です。

20000-6400で、仕入れ値の合計が13600円です。

一つあたりの仕入れ値が分かっていて、仕入れ値の合計も分かっているので、つるかめ算です。

大問２（３）とほぼ同じ図になっています。

全部が梨だとすると、60×200で仕入れ値は12000円になります。

13600-12000で1600円足りません。

1600÷(80-60)で答えは80個です。

大問５

（１）ランクC　ベストチェック70(水そうグラフ)・18番(単位の換算)

最初に入っている水の体積は、25×10×1.2で300㎥です。

1㎥は=1000Lなので、300×1000で300000Lです。

12時から14時30分までの150分間でなくなったので、300000÷150で答えは2000Lです。

（２）ランクD　ベストチェック70(水そうグラフ)

16時30分から17時50分の80分間で、25×10×0.4=100㎥の水が入っています。

100÷80で、1分間あたり1.25㎥ということです。

満水は（１）で求めた300㎥なので、300-100の200㎥の水が増えると満水になります。

200÷1.25で160分後に満水ということです。

17時50分の160分後である20時30分に満水になるので、答えはその直前の20時25分です。

相似を使って解くこともできます。

グラフを右側に拡大すると、上の図になります。

青い小さな三角形と、青＋赤という全体の三角形が相似になっています。

相似は、0.4:1.2=1:3です。

80:□=1:3となり、□は240分となります。

16:30の240分後は20：30なので、答えは同じく20:25になります。

（３）ランクD　ベストチェック70(水そうグラフ)・18番(単位の換算)

（２）と同様に、200㎥の水を入れると満水になります。

17時50分から翌日の10時30分までは、16時間40分、つまり1000分あります。

200÷1000で1分あたり0.2㎥を入れることになります。

1㎥は=1000Lなので、0.2×1000で答えは200Lです。

まとめ

全部で20問のうち、Cまでで17問なので8割以上の得点をすることができます。

また、ベストチェックからの出題は、20問中15問です。

AやBの問題も多いですし、Eの問題はないので、満点を目指して挑戦しても良いでしょう。

算数ベストチェック

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日能研教務部 みくに出版 2000年09月15日

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あくまで復習用なので、使い方には注意が必要です。

ベストチェックは良い教材なのですが、欠点は解説がほぼないことです。

ベストチェックはインプット用の教材ではないので、分からなければ他のテキストなどで学習するのが基本的な使い方です。

しかし、あれば便利でしょうから、ベストチェックの問題について解説していきます。

補助的にご利用していただければ幸いです。

69番「水位と比」(p.170・171)についての解説です。

入試問題では、「水位と比」単体での出題は少ないです。

比を使わなければ解けない問題は多くありません。

しかし、比を使うと便利な問題は多いので、できることが理想的ではあります。

もちろん、明確に比を使うことを求められていない場合は、比を使う必要はありません。

難しければ、比を使わなくても構いませんが、まずは挑戦してみましょう。

大問１　算数ベストチェックの解説69「水位と比」

逆比・反比例を使う方法と、逆比・反比例を使わない方法があります。

逆比・反比例を使うと計算は楽になりますが、分かりにくいと感じる子も多いはずです。

まずは、逆比・反比例を使わない方法から説明します。

直方体の容器は、断面図を書くと長方形になります。

水の形も長方形になるので、水の体積を面積のように計算することができます。

Aの容器から移される水は半分なので、12÷2で深さ6cmの部分です。

体積は、底面積×高さで求めることができます。

底面積が何㎠かは分かっていません。

丸の5をそのまま使い、5×6をします。

すると、Aの容器から移される水の体積は30となります。

30の水がBに移ると、底面積が丸の3になります。

30という体積は変わらないので、底面積×高さ=体積という式を再び使います。

高さは分からないので、増える部分の高さを□とします。

3×□=30となり、30÷3で□は10cmです。

最後に元々の3cmを加えると、3＋10で答えは13cmになります。

水の体積を面積のように考えることは、逆比・反比例を使う方法でも同じです。

長方形の面積は、縦×横という積の形です。

そして、水をAからBに移しても、体積は変わりません。

断面図においては、面積が同じになるということです。

面積は積の形なので、積が等しいということです。

このように、積が等しい場合には、逆比・反比例を使うことができます。

大問1で等しい積は、「底面積」×「高さ」です。

「底面積の比」と「高さの比」が逆比になります。

ちなみに、ベストチェックでは、22番(p.76・77)で逆比について扱われています。

逆比と反比例というのは実質的に同じことです。

底面積の比は5:3です。

高さの比は6:□です。

逆比になるので、5:3=□：6という比例式(ベストチェック20番(p.72・73))になります。

比例式を使って計算すると、□は10となります。

または、6×5/3で10と求めることができます。

最後は、3＋10で答えは13cmになります。

ポイント

• 面積のように考える
• 底面積の比を使って底面積×高さを計算する、または底面積と高さの逆比・反比例を使う

大問２　算数ベストチェックの解説69「水位と比」

まずは、比を使わない方法から説明します。

大問１と同じように、断面図を書いて面積のように考えます。

ただし、断面図を書かなくても体積を求められる人は、断面図を書く必要はありません。

倒す前の底面積は、12×15で180㎠です。

水の深さが10cmなので、180×10で水の体積は1800㎤です。

倒されても水の体積は変わりません。

倒されると、底面積が20×12で240㎠になります。

体積は1800㎤なので、1800÷240で深さは7.5cmになります。

比を使う場合は、まずは底面積の比を求めます。

倒す前の底面積は180㎠で、倒した後の底面積は240㎠です。

底面積の比は、180:240=3:4になっています。

そして、倒しても水の体積は変わらないので、積が一定ということです。

積が一定であれば、逆比を使うことができます。

水の体積は、底面積×高さなので、「底面積の比」と「高さの比」が逆比になります。

高さは倒す前が10cmで、倒した後を□とします。

3:4=□:10で□は7.5cmになります。

ポイント

• 面積のように考える
• 底面積×高さを計算する、または底面積と高さの逆比・反比例を使う

大問３　算数ベストチェックの解説69「水位と比」

まずは、比を使わない場合について述べていきます。

台形の部分を底面積、16cmを高さと考えることで、水の体積を求めることができます。

台形の面積を求める必要があるので、説明のために図のようにABCDEを定めます。

三角形ABCと三角形ADEが相似(ベストチェック60番(p.152・153))になっています。

ABは24-12で12cmなので、相似比は12:24=1:2です。

□:18=1:2より、BCは9cmです。

台形の面積は、(9＋18)×12÷2で162㎠です。

水の高さは16cmなので、水の体積は162×16で2592㎤です。

容器を倒すと、底面積が三角形の部分になります。

18×24÷2で底面積は216㎠です。

倒しても水の体積は変わらないので、2592÷216で深さは12cmになります。

次に、比を使う方法を述べますが、比を使う方法も複数あります。

先ほどと同様に、162㎠と216㎠を求めてから、162:216=3:4と底面積の比を求めるのが一つの方法です。

もう一つは、ベストチェックp.170のように、相似比から面積比を求める方法です。

三角形ABCと三角形ADEの相似比は1:2なので、面積比は1×1:2×2で1:4になります。

台形は、三角形ADEから三角形ABCを除いた部分なので、4-1の3に相当します。

台形と三角形ABCの面積比は3:4というのは同じです。

そして、倒しても水の体積は変わらないので、積が一定、つまり逆比を使うことができます。

これまでと同様に、「底面積の比」と「高さの比」が逆比になります。

底面積の比は3:4なので、3:4=■:16で12cmと求めることができます。

ポイント

• 台形の部分を底面積と考える
• 台形の部分は相似を利用して面積を求める、または面積比を求める
• 底面積×高さを計算する、または底面積と高さの逆比・反比例を使う

大問４　算数ベストチェックの解説69「水位と比」

水の中に棒などを入れる問題の場合は、棒が端にある図の方が見やすくなります。

棒を右端に動かして図を変えました。

書き直さなくても解ける人は、書き直す必要はありません。

大問４は、比を求める問題なので、比を使わない方法では解けません。

容器から棒を除いた部分の底面積を○、棒の底面積を□とします。

棒を抜いたことによって、左上にあった水が右下に移動しました。

つまり、左上の斜線部と右下の斜線部は体積が同じです。

体積が同じということは、「底面積の比」と「高さの比」が逆比になります。

高さは5cmと10cmなので、5:10=1:2です。

2:1＝○:□となります。

容器の底面積は、○＋□なので、答えは、2＋1:1で3:1となります。

先ほどの斜線部両方に右上の部分を加えて、大きい長方形にする方法もあります。

こうすると、容器の底面積をそのまま○にすることができます。

濃い青の部分と濃い赤の部分が等しくなるので、「底面積の比」と「高さの比」が逆比になります。

高さは5cmと15cmなので、高さの比は5:15=1:3です。

逆比で、3:1が答えになります。

比を使うのが複雑だと感じることも多いでしょう。

大問４では、一切面積が登場しません。

これを逆手に取って、自分で勝手に面積を決めてしまう方法もあります。

面積に関する情報がないということは、面積がいくつでも答えが同じになるということです。

棒の底面積を10㎠としてみます。

最初の解法１では、右下の体積が10×10で100㎤になります。

体積が同じなので、100÷5で○は20㎠になります。

容器の底面積は20＋10で30㎠です。30㎠と10㎠なので、30:10=3:1と同じ答えになります。

次に、解法２では、赤い部分の体積が10×15で150㎤になります。

青い部分も同じ体積なので、150÷5で○は30㎠になります。

30:10=3:1で、こちらも同じ答えになります。

棒の底面積を10㎠にしましたが、数字を変えても答えは同じになります。

数字を変えて何回か計算してみると、納得できるでしょう。

数字は何でも構いません。

勝手に底面積を決めることで、逆比を避けることができます。

ポイント

• 同じ体積の場所を見つけて逆比・反比例を使う、または勝手に底面積を決めることで逆比を回避する

まとめ

大問４以外は、比を使う方法と比を使わない方法があります。

比を使うと、式の数は減りますし、数字も小さくなって計算が楽になります。

ミスもしにくくなるし、早くできるというメリットがあります。

しかし、比の使い方を理解できているのが前提になります。

比は抽象的ですから、理解するのが難しいです。

比を使うことが明示的に求められている問題以外は、無理に比を使う必要はありません。

比を使おうとしても間違えるぐらいなら、使わない方が良いです。

大問４に関しては、比を使う以外に方法がありません。

しかし、勝手に具体的な数字を決めることで考えやすくなります。

比は抽象的な数字なので、できるだけ具体的な数字を使うと解きやすくなります。

特に、逆比は抽象的ですから、小学生に理解を要求するのはややレベルが高いです。

具体的な数字を使うことで、逆比を避けられるというメリットは大きいです。

いずれにしても、複数の解き方があり、どれか一つが正解というものではありません。

試行錯誤しながら、最適な方法を身に付けていきましょう。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

個別指導にご興味のある方は、詳しくはこちらからご覧ください。

問題は、2021年版の銀本や、四谷大塚の過去問データベース、または桜美林中学校のホームページで手に入れることができます。

銀本とは、みくに出版の「中学入学試験問題集」のことです。

日能研生であれば配布されるので、購入の必要はありません。

銀本では、二つの使い方をお勧めしています。

しかし、銀本には解説がありません。

せっかく解いても復習がしにくい面があるので解説を作りました。

問題ごとに難易度のランク付けもしました。ランクの目安は以下のとおりです。

ランクが高いほど基礎的な問題＝重要な問題です。

あくまで、私が全問解いてみて、主観でランクを付けています。

実際に模試で出題した場合には、出題の順番などでも正答率は左右されるので、あくまで目安とお考え下さい。

また、日能研ブックスでは、『算数ベストチェック』というまとめ教材をお勧めしています。

参考までに、問題ごとにベストチェックの番号も記載しました。

解説は簡単なものに留めているので、分からなければベストチェックを参照してください。

それでも分からなければテキストなどに戻ってください。

詳しくは、こちらの記事をご覧ください。

大問1・２　桜美林2020年算数解説・難易度ランク

大問１

（１）ランクA　解説略　ベストチェックなし

（２）ランクB　解説略　ベストチェックなし

大問２

（１）ランクB　ベストチェック19番(割合)

　(2210-1700)÷1700=0.3なので、答えは30％になります。

（２）ランクC　ベストチェック26番(速さ)・20番(比例式)

そのまま分速を求めると、2÷30が割り切れません。

割り切れないと混乱する子もいるかもしれません。

割り切れない場合は、分数にすることが大切です。

分数にすれば、あとは比にしてから約分し、最小公倍数を掛けるだけです。

最小公倍数の30を掛けると2:5になります。

（３）ランクC　ベストチェック36番(差集め算)

差集め算は、何か×□が何個に当たるか、ということを考えます。

（３）では、差が6「箱」になっています。

6×3で18「個」に変える必要があります。

箱が複数あるので、箱の数が□です。

図を見ると、5×□と3×□の差である、2×□が18個と分かります。

18÷2で□は9、つまり9箱あります。5×9=45となります。

（４）ランクC　ベストチェックなし

100個も掛けるのは現実的ではないので、何か規則性があると考えます。

規則性を見つけるために、まずは一の位を調べます。

ただし、真面目に全部掛けるではなくて、一の位だけに7を掛けていきます。

そうすると、一の位が「7,9,3,1」を繰り返すことが分かります。

100÷4=25なので、この4つがちょうど25組、最後の1が答えということです。

（５）ランクC　ベストチェック30番(時計算)

まず、9時の時点での長針と短針の間の角度は、30×9=270度です。

そこから、長針が追いかけて短針に近付いていきます。

短針は1分間に0.5度、長針は1分間に6度動くので、6-0.5で1分間に5.5度縮まります。

9時から9時40分までの40分間で、5.5×40=220度縮まります。

270－220で答えは50度です。

（６）ランクD　ベストチェック4番(倍数と公倍数②)

ベン図を使う方法もありますが、難しいと感じる子も多いでしょう。

まずは2でも3でも割り切れる数を考えます。

2でも3でも割り切れる数とは、2と3の最小公倍数である6の倍数です。

99÷6で16個しかありません。

2桁の6の倍数を、12,18,…と順番に4や9で割り切れるかを調べれば、30,42,66,78が見つかります。

（７）ランクD　ベストチェック26番(速さ)・44番(植木算)

10kmは10000mなので、もし休憩がなければ10000÷100で100分かかります。

10000÷700で、700が14回と少しあることが分かります。

「少し」も含めた15回に対し、休憩は-1の14回あります。

休憩は全部で14×1の14分です。

100＋14で114分、つまり1時間54分が答えです。

ちなみに、休憩の回数が1回マイナスするのは、植木算の考え方を使っています。

（８）ランクC　ベストチェック23番(濃度)

面積図で解く場合は、上の図になります。

斜線部分の面積が同じです。

左上は、(12-10)×900で1800です。

1800÷(18-12)で答えは300gです。

（９）ランクC　ベストチェック70番(水そうグラフ)

グラフから、下の部分の高さが20cmと分かります。

20×30×50で30000㎤の水が5分間で入っています。

30000÷5で1分あたり6000㎤です。

上の部分は、(50-20)×60×50で90000㎤あります。

90000÷6000で、上の部分に水を入れるのは15分かかります。

5＋15で答えは20分です。

大問３・４　桜美林2020年算数解説・難易度ランク

大問３

（１）ランクC　ベストチェック40番(仕事算)

全体の仕事量を1とする方法で解く場合について述べていきます。

Aさんは1÷30で1日の仕事量が1/30です。

同様に、Bさんは1/20です。

まず、Aさんが10日間仕事をするので、1/30×10で1/3の仕事をします。

残りは1-1/3で2/3です。

これを2人でするので、2/3÷(1/30＋1/20)で8日間かかります。

最初の10日を合わせて、10＋8で18日間が答えです。

（２）ランクD　ベストチェック40番(仕事算)・35番(つるかめ算)

全部で15日と分かっていて、A単独、およびA＋Bが何日か分かりません。

仕事算のつるかめ算です。

二人合わせると1/30＋1/20で1日当たり1/12になるので、面積図を書くと上記のようになります。

15日間ずっとAだけで仕事したとすると、1/30×15で1/2です。

全体の仕事量は1にしているので、1-1/2で残りの1/2が右上の部分です。

1/2÷1/20で答えは10日間です。

大問４

（１）（２）ランクE　ベストチェックなし

A,B,Cの大小関係がつかみづらく、図を書くのが難しいです。

実際に私も上記の図を作るのにかなり時間がかかりました。

様々な方法がありますが、共通する部分を作るために、Aを1/2倍し、Bを2倍すると、以下の図になります。

三角の1/2が、丸の1/4＋515円と分かったので、Cを書き替えます。

Bと Cの長さがそろっていて、「丸の2＋120円」と、「丸の1/4＋515円＋200円」が同じと分かります。

「丸の2-丸の1/4」が「515円＋(200円-120円)」と同じです。

つまり、丸の7/4が595円です。595÷7/4で丸の1が340円と分かります。

Aの所持金は、丸の1/2＋1030円です。

（２）の答えは、340×1/2＋1030で1200円です。

Bの所持金は、丸の1なので、340円です。

そして、Bに60円加えたものが、□の1/2に当たります。(340＋60)÷1/2でCの所持金は800円です。

（１）の答えは、1200＋340＋800で2,340円です。

大問５・６　桜美林2020年算数解説・難易度ランク

大問５

（１）ランクC　ベストチェック60番(相似)

太陽光線は平行になるので、影を示す三角形は相似になります。

1mの棒と影の長さを比べると、縦:横は1:15、つまり2:3です。

2:3=□:27という比例式になり、答えは18mです。

（２）ランクD　ベストチェック60番(相似)

相似を使えるように、図を変える必要があります。

A校舎の影は、B校舎がなければ上記のような図になります。

2:3=12:☆で、☆の部分が18mです。

影の長さは全部で6＋18の24になります。

2:3=□:24で答えは16mになります。

大問６

（１）ランクC　ベストチェック58番(底辺比と面積比)

点Pが点Bに戻るまで、18×2で36cm移動しています。

つまり、36÷3で12秒後を考えるということです。

点Qは2×12で24cm移動しています。

18-3で15cm進んだところで折り返すので、24-15で9cm戻った場所にいます。

三角形ABCと三角形APQは高さが同じなので、底辺の長さの比と面積比が等しくなります。

18:9=2:1となります。

（２）ランクD　ベストチェック28番(旅人算)・61番(相似比と面積比)

正三角形になるということは、PQとBCが平行になるということです。

Qも左の辺を動くと考えると、PがQを追いかける旅人算になっています。

最初に3cm離れているので、3÷(3-2)で3秒後に正三角形になります。

3秒後は3×3でPBが9cmなので、APも9cmです。

PQとBCが平行なので、三角形ABCと三角形APQは相似です。

相似比は、18:9、つまり2:1です。

相似比が2:1なので、面積比は2×2:1×1で4:1になります。

（３）ランクE　ベストチェック28番(旅人算)

2回目に正三角形になるということは、Pが折り返してからPQとBCが平行になるということです。

Qも左の辺を進んだと考えると、PとQを合わせるとABを往復しています。

ただし、最初の3cmは含まれません。

(18×2-3)÷(3＋2)で6.6秒後が答えです。

まとめ

桜美林中学の2020年2月1日午前入試の問題を解説しました。

全部で20問あります。

内訳は、A1問、B2問、C9問、D5問、E3問です。

ABCを確実に正解すれば、6割を正解することができます。

そして、D5問のうち2問を正解すると7割の正解となります。

また、ベストチェックに該当項目がある出題が20問中15問あります。

基本的な問題が多く、様々な分野から出題されているので、力試しには最適の問題といえるでしょう。

算数ベストチェック

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あくまで復習用なので、使い方には注意が必要です。

ベストチェックは良い教材なのですが、欠点は解説がほぼないことです。

ベストチェックはインプット用の教材ではないので、分からなければ他のテキストなどで学習するのが基本的な使い方です。

しかし、あれば便利でしょうから、ベストチェックの問題について解説をまとめていきます。

補助的にご利用していただければ幸いです。

68番「ひものまきつけ」(p.167・p.168)についての解説です。

ひものまきつけは、入試での出題自体はそこまで多くはありません。

出題頻度は低くても、同じパターンで解けることが多いです。

できるように取り組みましょう。

大問1　算数ベストチェックの解説68「ひものまきつけ」

ひものまきつけの問題は、基本的に同じパターンで解くことができます。

最短となるひもは、展開図にしたときに直線になります。

たるんでいるよりも、ピンと張っている方が短くなるということです。

大問1でも、展開図を書くことが重要です。

直方体の展開図といえば、本来は6つの面があります。

しかし、ひもが通る部分以外は不要なので、ひもが通る面だけを書きます。

大問1では、四角形ABFEと四角形BCGFをひもが通っています。

相似の三角形が見つかります。

相似は、ベストチェックでは60番(p.152・p.153)にあります。

相似には、基本的な3つのパターンがあります。

そのうちの一つ、ピラミッド型などと呼ばれるものです。

BPとCGが平行なので、三角形ABPと、三角形ACGが相似になっています。

相似な三角形の組み合わせは、他にもあります。

三角形ABPと三角形GFPなどを利用しても構いません。

展開図を書いても相似をすぐに見つけられない場合は、相似の復習を優先しましょう。

ここでは、三角形ABPと、三角形ACGが相似を利用する場合を考えます。

相似な三角形では、対応する辺の長さを利用して相似比を求めることが大事です。

大問1では、辺ABが20cmであり、対応する辺ACが50cmです。

相似比は20㎝:50cm=2:5となります。

相似比が分かれば、対応する辺の長さを比例式に当てはめるだけです。

BPと対応する辺はCGで、その長さは40cmです。比例式は、BP:40cm=2:5となります。

40×2÷5、または、40÷5×2で、BP=16cmと求めることができます。

なお、比例式の解き方については、ベストチェック20番(p.72・p.73)にあります。

もし比例式の解き方が分からなければ、比例式の復習を優先してください。

ポイント

• 展開図を書き、ひもを直線にする
• 相似な三角形を見つけて相似比を考える
• 比例式を使ってBPの長さを求める

大問2　算数ベストチェックの解説68「ひものまきつけ」

大問2でも、展開図を書き、ひもを直線にします。

円すいの展開図は、ベストチェック64番(p.160・p.161)にもあるように、扇形＋円になります。

底面の部分が円ですが、ひもは通らないので扇形だけを書きます。

ひもは、Bから通ってBに戻るので、BとBを結ぶ直線になります。

そして、ひもの中間にDがあります。

ADの長さを求めるわけですが、分かっている長さが6cmしかありません。

長さを足したり引いたりすることでは求めることができません。

分かっている長さが少ない場合には、角度に注目することが大事です。

扇形といえば、中心角を考えることが重要です。

ベストチェック64番(p.160・p.161)にもあるように、扇形の中心角は、以下の式で求めることができます。

「半径」とは、底面の半径のことです。

母線とは、大問2のABの部分です。

ちなみに、この式に求めることができるのは、扇形の弧の長さと底面の周りの長さが一致するからです。

他の方法でも求められますが、覚えておくと便利です。

大問2では、底面の半径が2cm、母線の長さ6cmです。

中心角は以下のようになります。

中心角が120度と分かったので、展開図に書き込みます。

120度というと、60度の2倍ですね。

直角も作れるので、60度にすることで、三角定規の形をすることができます。

三角定規は、ベストチェック51番(p.134・135)にあるように、辺の長さに②:①の関係があります。

大問2では、6cmの部分が②、ADが①に当たります。

比例式を作ると、2:1=6:ADとなります。これを使うと、ADは3cmと求めることができます。

なお、比例式はベストチェック20番(p.72・p.73)にあります。

比例式が分からなければ、まずはそちらの復習をしてください。

ポイント

• 展開図を書き、ひもを直線にする
• 分かっている長さが少ない→角度に注目すると気付く
• 母線と底面の半径との関係を使って中心角を求める
• 三角定規の形を作って辺の長さの比を使う

大問3　算数ベストチェックの解説68「ひものまきつけ」

大問3でも、展開図を書き、ひもを直線にするのは同じです。

しかし、正四角すいの展開図は書きなれていない人が多いので、展開図を書くのが少し難しいです。

正四角すいは、底面である正方形と、4つの合同な三角形で構成されています。

底面にはひもは通らないので、4つの合同な三角形を書きます。

展開図を書くと、このように…なりません。

このような展開図を書く子は多いですが、典型的な誤りの例です。

正しくは、以下のような図になります。

もしイメージがしにくければ、折り紙などで三角形を4つ作って並べてみてください。

展開図が完成したので、分かっている長さや角度を書き込みます。

図にはすべての数値を書き込むことが重要です。

ひもはCから出て1周しているので、CからCを直線で結びます。

大問3でも、分かっている長さが少ないです。

角度に注目することが大事です。

三角形はすべて合同なので、15度が4つあるので、15×4で60度があることが分かります。

そして、展開図の左右にACがあるので、二等辺三角形ということが分かります。

二等辺三角形であり、一つの角が60度ということは、正三角形ということです。

三角形ACCが正三角形であり、ACの長さは20-5で15cmです。

ひもの長さもACと同じということなので、15cmとなります。

ポイント

• 展開図を書き、ひもを直線にする
• 分かっている長さが少ない→角度に注目すると気付く
• 60度がある→正三角形と気付く

まとめ

「ひものまきつけ」の問題については、パターンが決まっています。

展開図を書いて、ひもを直線に書くことが重要です。

とはいえ、展開図を書いてから、実際に長さを求めるには様々な問題があります。

図を書くだけで、すぐに長さが分かることが少ないです。

長さを求めるときに、役立つ方法として相似を用いる方法があります。

相似を見つけることができれば、相似比を使って長さを求めることができます。

相似の図形は、すぐに見つけられるように練習しておきましょう。

問題で分かっている長さが少ない場合は、角度を用いる場合があります。

長さを求める問題なのに、わざわざ角度が問題に書いてあることがあります。

基本的には、答えを出すのに必要な情報しか問題にはありません。

わざわざ角度が書いてあるということは、角度を用いて長さを出す可能性が高いです。

通常は、角度だけでは長さを求めることができません。

しかし、三角定規、正三角形、または二等辺三角形などを見つければ、長さを求めることができます。

三角定規、正三角形、二等辺三角形があるのではないか、という疑いの目で問題を見ることも大事です。

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算数ベストチェック

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日能研教務部 みくに出版 2000年09月15日

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あくまで復習用なので、使い方には注意が必要です。

ベストチェックは良い教材なのですが、欠点は解説がほぼないことです。

インプット用の教材ではないので、分からなければ他のテキストなどで学習するのが基本的な使い方です。

しかし、あれば便利でしょうから、ベストチェックの解説をしていきます。

補助的にご利用していただければ幸いです。

67番「特別な三角すい」(p.166・p.167)についての解説です。

特別な三角すいは、ベストチェックの中では、かなり難しい部類に入ります。

実は入試での出題頻度はそこまで高くはないので、人によってはできなくても構いません。

しかし、最初から諦めるのではなく、一度は挑戦しましょう。

大問1　算数ベストチェックの解説67「特別な三角すい」

大問1は、「特別な三角すい」をそのまま出題しています。

三角すいに限らず、基本的な図形の表面積を求めるには、展開図を考えるのが定番です。

表面積とは、表面の面積＝展開図全体の面積です。

すべての面の面積を合計したものなので、展開図にすることで求めやすくなります。

例えば、円すい(ベストチェックp.160・p.161)であれば、展開図は円＋扇形になります。

つまり、円すいの表面積は、円の面積と扇形の面積を合計することで求めることができます。

表面積を求めるために、三角すいの展開図を書くことになります。

三角すいの展開図は、4つの三角形で構成されています。

4つの三角形の面積をすべて求めることができれば、表面積を求めることができます。

まず、三角形BCDは、4×4÷2=8㎠と求めることができます。

また、三角形ABD、三角形ACDは、それぞれ4×8÷2=16㎠と求めることができます。

ところが、三角形ABCは、辺の長さが一切分かっていないので面積を求めることができません。

つまり、「4つの三角形の面積を求める方法では、表面積を求めることができない」ことに気付くのがポイントです。

では、どのように求めるか、というのが「特別な三角すい」です。

特別な三角すいとは、ベストチェックp.166にあるように、展開図が正方形になる三角すいです。

大問1の三角すいも、正方形の展開図にすることができます。

ADが8cmであり、BD＋CDも8cmです。

また、角ADC、角ADB、角BDCというDの周りの角がすべて直角になっています。

展開図にすると、正方形になります。

なぜ正方形にすることができるのかは、考えると難しいです。

特別な三角すいの問題を解けるようにするには、展開図が正方形になることを覚えるのが近道でしょう。

問題を見たときに、「特別な三角すいだ」と気付けるかがポイントです。

特別な三角すいの形を覚えることが難しければ、最終的には捨て分野にしても構いません。

展開図を書くことができれば、あとは正方形の面積を求めるだけです。

一辺が8cmなので、8×8=64㎠となります。

ポイント

• 4つの三角形の面積を求める方法では、表面積を求めることができない
• 展開図を正方形になる三角すいがある
• 正方形の展開図を書いて、その正方形の面積を求める

大問2　算数ベストチェックの解説67「特別な三角すい」

大問2では、三角すいが切り取られています。

しかし、切り取られた三角すいの形が書かれていません。

元の図形である「1辺8cmの立方体」になるように、図を補います。

すると、以下のような図になります。

元の図形は1辺が8cmなので、切り取られた三角すいの辺の長さも分かる部分があります。

4cm、4cm、8cmという辺がありますね。

三角すいの部分だけに注目すると、以下の図になります。

大問1の三角すいを逆さにした形ですね。

辺の長さも同じなので、切り取られた三角すいは、大問1の三角すいと同じということです。

表面の面積を考えるためには、元の図形からの変化を考えることがポイントです。

立方体から三角すいを切り取ることによって、どのように表面積が変化するか、ということです。

比較してみると、切り取ったことによってなくなった面があります。

また、切り取ったことによって新たに誕生した面もあります。

立方体から、赤い部分である3つの面がなくなり、赤い斜線の面が新たに誕生しています。

まずは、立方体の表面積から、なくなった3つの面の面積を引きます。

そのうえで、新たに誕生した面の面積を加えることで、大問2の立体の表面積を求めることができます。

立方体の表面積は、8×8×6=384㎠です。

なくなった3つの面は、直角三角形なので面積を求めることができます。

しかし、新たに誕生した面の面積をどのように求めるかが問題になります。

大問1と同様に、展開図を作って考えます。

大問1と同じ三角すいなので、展開図も同じものです。

ア・イ・ウの部分がなくなった面積で、エの部分が新たに誕生した部分です。

アの面積は、4×4÷2=8㎠、イ・ウの面積は、4×8÷2＝16㎠です。

エの部分は、正方形からア・イ・ウを引くことで求めることができます。

エの面積は、8×8-(8+16×2)=24㎠です。

そして、立方体-(ア＋イ＋ウ)＋エで求めることができます。

答えは、384-(8＋16＋16)＋24=368㎠です。

ポイント

• 切り取られた三角すいの形を考える
• 切り取ることによる表面積の変化を考える
• 三角すいの展開図を使って変化した部分の面積を求める

大問3　算数ベストチェックの解説67「特別な三角すい」

 四角すいの体積は、底面積×高さ×3分の1で求めるのが基本的な方法です。

ところが、大問2の四角すいは高さが分かりません。

「底面積×高さ×3分の1」という公式では求めることができません。

四角すいの展開図を4つの正方形に区切ります。

左上の正方形に注目すると、大問1や大問2の展開図と全く同じになっています。

つまり、大問3の四角すいは、三角すいを4つ集めた図形ということです。

三角すいの体積を4倍すれば、求めることができます。

1つの三角すいは、以下のような図になります。

三角すいの体積は、底面積×高さ×3分の1で求めることができます。

「4×4÷2×8×1/3=21と1/3」となります。

この3角すいの4倍なので、21と1/3×4=85と1/3㎠が答えです。

ポイント

• 公式「底面積×高さ×3分の1」だけでは求めることができない
• 展開図を4つに区切り、3角すいの4倍と気付く

まとめ

特別な三角すいは、言葉の通りに「特別な」三角すいです。

特別なので、「特別な三角すいを使う」と気付けない限り、解くことが難しいです。

また、特別なので入試での出題も限られます。

できなくても大きな痛手にはなりません。

もちろん、できることが望ましいのです。

しかし、特別な三角すいは難しいので、最終的にはできなくても構いません。

何回か挑戦して、難しければ他に時間を使う方が効率的でしょう。

とはいえ、せっかくなので、ポイントをまとめておきます。

特別な三角すいは、展開図が正方形になる三角すいです。

正方形の展開図を書くことで、すべての面の面積を求めることができます。

また、特別な三角すいを組み合わせた四角すいの体積も求めることができます。

ベストチェックはあくまで復習用の教材なので、分からなければ他のテキストなどで学習しましょう。

しかし、特別な三角すいについては、優先度が下がるので、後回しでも構いません。

算数でお困りであれば、公式LINEからお気軽にご相談ください。

また、私は家庭教師をしております。

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